APLICACION DE LAS FUNCIONES TRIGONOMETRICAS

CONTENIDO

• Solución de triángulos rectángulos (cuando se conocen la medida de un ángulo y de un lado; cuando se conocen la medida de dos lados)
• Ángulo de elevación y depresión.
• Solución de triángulos no rectángulos (Ley seno, ley coseno)
• Área de un triángulo ([a] Se conocen las medidas de dos lados y el angulo comprendido entre ellos, [b] Se conocen las medidas de los tres lados)
• Vectores (Definiciones,  ángulo de dirección, suma y resta de estos, vector velocidad y vector fuerza)

SOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS.

1-Se conoce hipotenusa y un cateto

   

             

2- Se conocen los dos catetos

  

3-Se conocen hipotenusa y un angulo agudo

  

4- Se conocen un cateto y un angulo agudo

 

 

• ANGULO DE ELEVACIÓN Y DEPRESIÓN 

Son ángulos formados por dos líneas imaginarias llamadas: línea visual o línea de visión y la línea horizontal.
     

• SOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS NO RECTÁNGULOS (LEY SENO, COSENO)

Se les llama triángulos oblicuángulos y para resolverlos utilizamos los teoremas del seno y del coseno.

Se pueden presentar los siguientes casos:

1- Conociendo un lado y dos ángulos adyacentes a él.

  

               

2- Conociendo dos lados y el ángulo comprendido.

 

3- Conociendo dos lados y un ángulo opuesto.

   

sen B > 1. No hay solución

sen B = 1 Triángulo rectángulo

sen B < 1. Una o dos soluciones

4- Conociendo los 3 lados.

ÁREA DE UN TRIÁNGULO.

Cualquier triángulo puede resolverse (resolución de triángulos) si se conocen tres de sus elementos, donde, como mínimo, uno de ellos debe de ser un costado.

En particular, conociendo dos de sus lados y el ángulo que forman se puede calcular el área de un triángulo.

Por lo tanto, se pueden aplicar tres fórmulas para el cálculo del áreadependiendo de los dos lados que se conozcan (a y b, a y c o b y c).

VECTORES.

Un vector es todo segmento de recta dirigido en el espacio

• VECTOR FUERZA: Es el "vector" que representa a la fuerza. La fuerza es una magnitud vectorial xk tiene dirección, sentido, modulo, etc

• VECTOR VELOCIDAD: El vector velocidad es el vector que resulta del cociente entre el vector desplazamiento y el intervalo de tiempo que empleo el cuerpo en realizar dicho desplazamiento. El cociente es el resultado de una division, por si no lo recuerdas. El desplazamiento puede ser delta x, si se desplaza el cuerpo en forma horizontal, delta y si se desplaza en forma vertical y delta r si se desplaza en el plano. Escribo la palabra delta porque no se como colocar el símbolo, pero recuerda que es como un triángulo isósceles. El desplazamiento y la velocidad son dos vectores que siempre tienen igual dirección y sentido. 

• Ángulo de dirección: la dirección de un vector AB puede determinarse a través del ángulo que forma la recta que pasa por A y B con el eje OX. El valor del ángulo de inclinación a del vector u = (x,y) verifica que tg a =y/x (por tanto a = arctg (y/x))

• Suma y resta de vectores: se realiza sumando o restando cada una de las componentes de cada uno y da como resultado otro vector.

V1 = (x1, y1)
V2 = (x2, y2)

V1 + V2 = (x1, y1) + (x2, y2) = (x1 + x2, y1+ y2)

Para sumar dos vectores, los mismos tienen que tener la misma cantidad de componentes.

Ejemplo:

V1 = (1, 4, 2)
V2 = (0, 2, 1)

V1 + V2 =  (1, 4, 2) + (0, 2, 1) = (1, 6, 3)
V1 - V2 =  (1, 4, 2) - (0, 2, 1) = (1, 2, 1)

Gráficamente la suma y resta de vectores se puede realizar por el método del paralelogramo, es decir trazar sobre cada vector una recta paralela al otro formando un paralelogramo, cuya diagonal es la suma.

Composición y descomposición de fuerzas

Muchas veces tenemos distintas fuerzas aplicadas a un cuerpo y en distintas direcciones. Para conocer su comportamiento lo que hacemos es calcular la fuerza resultante, equivalente a la suma de todas las fuerzas aplicadas.

Pero no siempre tenemos las coordenadas cartesianas de los vectores de las fuerzas aplicadas, sino que en la mayoría de los casos las encontramos como un módulo y un ángulo, lo que suele llamarse coordenadas polares.

Para resolver este tipo de problemas, lo que hay que hacer es descomponer a las fuerzas proyectándolas sobre los ejes por medio de relaciones trigonométricas simples, tales como seno, coseno y tangente. Una vez que tenemos cada componente proyectada, hacemos las sumas y restas sobre cada eje para luego volver a componer todo en una resultante.

Ejemplo

F1 = 100 Newton
F2= 80 Newton

α = 20° del eje X
β = 25° del eje y




Proyectamos las fuerzas sobre los ejes



Para la F1
Por trigonometría

Cos α = F1x / F1
Sen α = F1y / F1

Entonces

F1x = Cos α F1
F1y = Sen α F1

Para la F2
Por trigonometría

Sen β = F2x / F2
Cos β = F2y / F2

Entonces

F2x = Sen β F2
F2y = Cos β F2

Luego de tener cada componente separada podemos hacer la sumatoria sobre cada eje y obtenemos una fuerza total Fx para el eje X y otra Fy para el eje Y.

Σx = + F1x – F2x
Σy = + F1y + F2y

Para hallar la resultante total hay que realizar el procedimiento inverso, es decir componer las dos fuerzas.



El módulo se calcula como la raíz cuadrada de cada componente al cuadrado:



El ángulo se puede calcular con la tangente:







s