Geometría analítica

CONTENIDO 

• CÓNICAS: (Superficie cónica de una revolución, sección cónica)
• Parábola: (Ecuación canónica de parábola con vértice en (0,0), ecuación canónica de la parábola con vértice en (h,k);determinación de los elementos de la parábola, ecuación general de la parábola)

CÓNICAS 

1. superficie cónica de una revolución

Una superficie cónica de una revolución es la superficie engendrada por una recta llamada generatriz, que gira alrededor de otra fija, llamada eje, a la que corta en un punto. El punto de corte se llama vértice .

La recta r, que gira alrededor de la recta e, a la que corta en el punto V, engendra una superficie cónica de revolución. 

Una cónica es la curva que se obtiene como intersección de una superficie cónica con un plano

                                                           

2. sección cónica

Se denomina sección cónica a la curva intersección de un cono con un plano que no pasa por su vértice. Se clasifican en cuatro tipos: elipses, parábolas, hipérbolas y circunferencias.

• β > α : Hipérbola  (naranja)
• β = α : Parábola (azulado)
• β < α : Elipse (verde)
• β = 90º: Circunferencia (un caso particular de elipse) (rojo)

LA ELIPSE

La elipse es la sección producida en una superficie cónica de revolución por un plano oblicuo al eje, que no sea paralelo a la generatriz y que forme con el mismo un ángulo mayor que el que forman eje y generatriz.

También podemos decir que la elipse es el lugar geométrico de los puntos del plano tales que la suma de las distancias a dos puntos fijos llamados focos es una constante positiva (ver figura). La Elipse es una curva cerrada.

LA HIPÉRBOLA 

la hipérbola es la sección producida en una superficie cónica de revolución por un plano oblicuo al eje, formando con él un ángulo menor al que forman eje y generatriz, por lo que incide en las dos hojas de la superficie cónica.mente y consta de dos ramas separadas.

También podemos decir que la Hipérbola es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya diferencia de distancias a dos puntos fijos llamados focos es constante

LA PARÁBOLA 

La parábola es la sección producida en una superficie cónica de revolución por un plano oblicuo al eje, siendo paralelo a la generatriz.

La parábola es una curva abierta que se prolonga hasta el infinito.

También podemos decir que la parábola es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado foco y de una recta fija llamada directriz.

CIRCUNFERENCIA 

la circunferencia es la sección producida por un plano perpendicular al eje.También podemos llamar circunferencia al lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado centro la circunferencia es un caso particular de elipse.

PARÁBOLAS

1. Ecuación canónica de la parábola con vértice en (0,0)

La ecuación de la parábola con vértice en (0,0) y foco en el eje - x es y²=4px

Las coordenadas del foco es (p,0)
La ecuación de la directriz es x=-p

Si p > 0, la parábola se abre hacia la derecha 
Si p < 0, la parábola se abre hacia la izquierda

La ecuación de la parábola con vértice en (0,0) y foco en eje - y es x²=4py

Las coordenadas del foco son (0,p)

La ecuación de la directriz es y=-p

Si p > 0, la parábola se abre hacia arriba

Si p < 0, la parábola se abre hacia abajo 

EJEMPLO 

Una parábola tiene como ecuación y²=-8x. Hallar las coordenadas del foco, la ecuación de la directriz.

Si tenemos en cuenta la ecuación canónica, entonces esta es y²=4px. El vértice de la parábola es (0,0). El foco esta en el eje - x

Por lo tanto, comparamos y²=4px con y²=-8x
Entonces, 4p=-8  p=-2

Como p < 0, se abre hacia la izquierda, siendo coordenadas del foco (-2,0)

La ecuación de la directriz es x=-p, si reemplazamos entonces x=-(-2), por lo tanto x=2

2. Ecuación canónica de la parábola con vértice en (h,k)

Vértice (h,k), se puede ubicar en cualquier parte de el plano cartesiano.

Siempre darán el vértice, el foco ola directriz, para así poder graficar o hallar la ecuación canónica, en la mayoría de los casos nos darán la ecuación canónica ya que esta siempre estará organizada, la general ya seria diferente, tendríamos que resolver la ecuación canónica y así conseguir la general, en caso de que no las pidan queda en la ecuación canónica.

Formula para el eje x en el vértice (h,k):

Esta formula se utiliza para la parábola que abre hacia la izquierda o la derecha 

(y-k)²= 4p (x-h)
Para hallar el foco
F=(h+p,k)
x=h-p

p < 0, se abre hacia la izquierda 
p < 0, se abre hacia la derecha 

Ejercicio 1.
Hallar la ecuación canónica con vértice en (h,k) y graficarlo

Foco (-1,-3)                    h=-2

 Vertice (-2,-3)                k=-3

(y-k)² = 4p (x-h)               h+p=1
(y+3)²= 4 (1) (x+2)           -2+p=-1
(y+3)²= 4 (x+2)                p=-1+2
                                      p=1
x=h-p
d=x=-2-1
d=-3

Formula para el eje y y con el vertice (h,k)

Esta formula se utiliza para la parábola que abre hacia arriba o hacia abajo

(x-h)² =4p(y-k)2
Con esta formula se hace el foco
(h,k+p)
Con esto se halla la directriz 
y=k-p
p > 0, abre hacia arria 
p < 0, abre hacia abajo

Ejercicio 2.
Hallar la ecuación canónica en el vértice (h,k) y graficar 

Foco (3,-5)                    F(h+p,k)          h+p=3
Directriz x= 5                F(3,-5)             k=5

(y-k)² =4p(x-h)
(y+5)² =4(-8)(x-4)


h+p=3                                                h+p=3                               h-p=5
h-p=5                                                 4+p=3                               h-p=5
2h=8                                                  p=1                                   -p=1
h=4 ---> Formula para hallar h                                                       p=-1 --->Formula para hallar p
                                                                                               

3. Determinación de los elementos de una parábola 

• Vértice
• Distancia entre 2 puntos 
• Foco
• Directriz
• Eje de simetría 
• Longitud de lado recto 

Ejercicio

1)determinar foco,vértice, eje simetría, lado recto, directriz en: 
y² + 2x = 0 

lo ponemos en la forma 
y² = -2x 
comparando con la parábola y

²

²=4px 
eje de simetría (el eje X): y=0 
vértice: V(0,0) 
Foco: F(p,0) 
directriz: x = -p 
lado recto: LR=|4p| 

de la comparación observamos 
-2 = 4p de donde p = -1/2 
entonces: 
eje de simetría (el eje X): y=0 
vértice: V(0,0) 
Foco: F(-1/2,0) 
directriz: x = -(-1/2) 
x = 1/2 
lado recto: LR=|4(-1/2)| = 2 

2) determina la ecuación general de la parábola si: 
v(2,2) pasa por el punto (-4,4) y eje focal paralelo al eje" y" 

Si eje focal paralelo al eje Y la parábola tiene forma 
(x-h)² = 4p (y-k) 
V(2,2) entonces h=2, k=2 
entonces la parábola es de la forma 
(x-2)² = 4p (y-2) 
si pasa por (-4,4) reemplazamos en la ecuación 
(-4-2)² = 4p (4-2) 
36 = 4p (2) 
4p = 18 
por lo tanto la ecuación ordinaria de la parábola es: 
(x-2)² = 18 (y-2) 

4. Ecuación general de la parábola 

en todos los casos la estructura de la ecuación de la parábola tiene las siguientes características:

Existe solamente una variable al cuadrado (x² o bien y²) y otra lineal.

El coeficiente de la variable lineal (4p) (el coeficiente es el 4) representa la proporción del lado recto con respecto de la distancia focal (debemos recordar que la distancia focal es la distancia entre el foco y el vértice).

Pero además de lo anterior, desde el punto de vista de las estructuras algebraicas, la ecuación de la parábola es una ecuacion de segundo grado, que puede expresarse en la forma general de ecuaciones de este tipo.

Obtención de la ecuación general de la parábola

Para llegar a dicha expresión o forma general, es necesario desarrollar  algebraicamente la forma ordinaria o canónica de la ecuación.

Tomando como ejemplo la forma:

(x – h)² = 4p(y – k)

Desarrollando resulta:

x² – 2hx + h² = 4py – 4pk

x² – 2hx + h² – 4py + 4pk = 0

Multiplicando la ecuación por un coeficiente “A” con la intención de generalizar, y considerando A ≠ 0, tendremos:

Ax² – 2Ahx + Ah² – 4Apy + 4Apk = 0

Reordenando:

Ax² – 4Apy – 2Ahx – Ah² + 4Apk = 0

Ax² – 4Apy – 2Ahx + A(h² + 4pk) = 0

Haciendo que los coeficientes de las variables sean:

–4Ap = B

–2Ah = C

A(h² + 4pk) = D

Sustituyendo los coeficientes B, C y D en la ecuación, nos queda:

Ax²+Bx+Cy+D=0---->ecuación de la parábola en el eje horizontal

Ay²+Bx+Cy+D=0---->ecuación de la parábola en el eje vertical 

TEMA 4

CONTENIDO

• Caracterización de dos variables cualitativas: Diagrama de tallo de hojas; tablas de distribución de frecuencias; gráfica de puntos; histogramas; ojiva 

1. Diagrama de tallo de hojas

Técnica estadística 

para representar un conjunto de datos. Cada valor numérico se divide en 2 partes. El o los dígitos principales forman el tallo y los dígitos secundarios las hojas. Los tallos están colocados a lo largo del eje vertical, y las hojas de cada obsevacion a lo largo del eje horizontal.

Este diagrama es usado cuando hay un numero muy pequeño de datos.

2. Tabla de distribución de frecuencia

En estadistica, se le llama distribución de frecuencias a la agrupación de datos en categorías mutuamente excluyentes que indican el número de observaciones en cada categoría.¹ Esto proporciona un valor añadido a la agrupación de datos. La distribución de frecuencias presenta las observaciones clasificadas de modo que se pueda ver el número existente en cada clase

3. Diagrama de puntos 

El diagrama de puntos es una gráfica utilizada para ilustrar un numero reducido de datos, la cual permite identificar con facilidad 2 características:

1. la localización de los datos 
2. la dispercion variabilidad de los datos

Este diagrama muestra cada uno de los elementos de un conjunto de datos numéricos por encima de una recta numérica (eje horizontal), facilita la ubicación de los espacios vacíos y los agrupamientos en un conjunto de datos, así como la manera en que estos datos se distribuyen a los largo del eje horizontal.

Los pasos para construir el diagrama son:

Paso # 1: Trazar una línea horizontal con el valor mínimo colocado en el extremo izquierdo, seleccionar una escala y utilizando intervalos regulares, marcar la escala hasta que el valor máximo sea alcanzado.

Paso # 2: Para cada valor numérico presente en la tabla de datos, colocar un punto sobre la escala de valores en la recta numérica, cuando el valor numérico aparece más de una vez, apilar los puntos.

3. Histograma

En estadística, un histograma es una representación gráfica de una variable en forma de barras, donde la superficie de cada barra es proporcional a la frecuencia de los valores representados, ya sea en forma diferencial o acumulada.

 4. Ojiva 

La ojiva es el polígono frecuencial acumulado, es decir, que permite ver cuántas observaciones se encuentran por encima o debajo de ciertos valores, en lugar de solo exhibir los números asignados a cada intervalo

La ojiva apropiada para información que presente frecuencias mayores que el dato que se está comparando tendrá una pendiente negativa (hacia abajo y a la derecha) y en cambio la que se asigna a valores menores, tendrá una pendiente positiva. Una gráfica similar al polígono de frecuencias es la ojiva, pero ésta se obtiene de aplicar parcialmente la misma técnica a una distribución acumulativa y de igual manera que éstas, existen las ojivas mayor que y las ojivas menor que.

HOMOTECIA, ROTACIÓN, TRASLACIÓN Y REFLEXIÓN DE IMAGENES.

• TRASLACION

En geometría, una traslación es una isometría en el espacio euclídeo caracterizada por un vector , tal que, a cada punto P de un objeto o figura se le hace corresponder otro punto P' , tal que:

• Homotecia:

 Formación de figuras semejantes en las que los puntos correspondientes están alineados dos a dos con respecto a otro punto fijo.

Una homotecia de centro O y de razón a , lleva a toda recta que pasa por O a sí misma, y a una recta L que no pasa por O, a una recta L´, paralela a L.

Hemos de tener en cuenta que los lados aumentan si a>0, disminuyen si a<0 y se mantienen si a=1. Además, si a=1 decimos que los triángulos son congruentes, es decir, si los lados correspondientes son iguales y sus ángulos correspondientes son iguales.

ROTACIÓN
Es cuando a una figura geometrica, la rotas segun un angulo dado y tomando un punto fijo indicado. 
Imaginate un rectangulo, el cual tiene 4 vértices, ahora elije un punto cualquiera ( le llamemos "o" ), pero para que sea mas claro que esté fuera de la fugura. 
Ahora une los cuatro vertices con dicho punto fijo "o" 
Las lineas que quedaron determinadas al unir los vertices con el punto "o" debes rotarlas, digamos 100° (A eso lo puedes hacer con un transoportador). 
Ya teniendo esas lineas giradas 100 °, ahora con el compas, llevas las medidas que van desde el punto fijo hasta los vertices (con el compas clavado en "o"), hasta cortar a las lineas correspondientes que has girado 100°..y esa será la nueva posicion de cada vértice. 
Luego une esos vertices girados y habras formado la figura (rectangulo) pero ahora girada 100°. 



REFLEXION 

la imagen reflejada siempre tiene el mismo tamaño, pero en la otra dirección:
Una reflexión es un volteo con respecto a una línea

APLICACION DE LAS FUNCIONES TRIGONOMETRICAS

CONTENIDO

• Solución de triángulos rectángulos (cuando se conocen la medida de un ángulo y de un lado; cuando se conocen la medida de dos lados)
• Ángulo de elevación y depresión.
• Solución de triángulos no rectángulos (Ley seno, ley coseno)
• Área de un triángulo ([a] Se conocen las medidas de dos lados y el angulo comprendido entre ellos, [b] Se conocen las medidas de los tres lados)
• Vectores (Definiciones,  ángulo de dirección, suma y resta de estos, vector velocidad y vector fuerza)

SOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS.

1-Se conoce hipotenusa y un cateto

   

             

2- Se conocen los dos catetos

  

3-Se conocen hipotenusa y un angulo agudo

  

4- Se conocen un cateto y un angulo agudo

 

 

• ANGULO DE ELEVACIÓN Y DEPRESIÓN 

Son ángulos formados por dos líneas imaginarias llamadas: línea visual o línea de visión y la línea horizontal.
     

• SOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS NO RECTÁNGULOS (LEY SENO, COSENO)

Se les llama triángulos oblicuángulos y para resolverlos utilizamos los teoremas del seno y del coseno.

Se pueden presentar los siguientes casos:

1- Conociendo un lado y dos ángulos adyacentes a él.

  

               

2- Conociendo dos lados y el ángulo comprendido.

 

3- Conociendo dos lados y un ángulo opuesto.

   

sen B > 1. No hay solución

sen B = 1 Triángulo rectángulo

sen B < 1. Una o dos soluciones

4- Conociendo los 3 lados.

ÁREA DE UN TRIÁNGULO.

Cualquier triángulo puede resolverse (resolución de triángulos) si se conocen tres de sus elementos, donde, como mínimo, uno de ellos debe de ser un costado.

En particular, conociendo dos de sus lados y el ángulo que forman se puede calcular el área de un triángulo.

Por lo tanto, se pueden aplicar tres fórmulas para el cálculo del áreadependiendo de los dos lados que se conozcan (a y b, a y c o b y c).

VECTORES.

Un vector es todo segmento de recta dirigido en el espacio

• VECTOR FUERZA: Es el "vector" que representa a la fuerza. La fuerza es una magnitud vectorial xk tiene dirección, sentido, modulo, etc

• VECTOR VELOCIDAD: El vector velocidad es el vector que resulta del cociente entre el vector desplazamiento y el intervalo de tiempo que empleo el cuerpo en realizar dicho desplazamiento. El cociente es el resultado de una division, por si no lo recuerdas. El desplazamiento puede ser delta x, si se desplaza el cuerpo en forma horizontal, delta y si se desplaza en forma vertical y delta r si se desplaza en el plano. Escribo la palabra delta porque no se como colocar el símbolo, pero recuerda que es como un triángulo isósceles. El desplazamiento y la velocidad son dos vectores que siempre tienen igual dirección y sentido. 

• Ángulo de dirección: la dirección de un vector AB puede determinarse a través del ángulo que forma la recta que pasa por A y B con el eje OX. El valor del ángulo de inclinación a del vector u = (x,y) verifica que tg a =y/x (por tanto a = arctg (y/x))

• Suma y resta de vectores: se realiza sumando o restando cada una de las componentes de cada uno y da como resultado otro vector.

V1 = (x1, y1)
V2 = (x2, y2)

V1 + V2 = (x1, y1) + (x2, y2) = (x1 + x2, y1+ y2)

Para sumar dos vectores, los mismos tienen que tener la misma cantidad de componentes.

Ejemplo:

V1 = (1, 4, 2)
V2 = (0, 2, 1)

V1 + V2 =  (1, 4, 2) + (0, 2, 1) = (1, 6, 3)
V1 - V2 =  (1, 4, 2) - (0, 2, 1) = (1, 2, 1)

Gráficamente la suma y resta de vectores se puede realizar por el método del paralelogramo, es decir trazar sobre cada vector una recta paralela al otro formando un paralelogramo, cuya diagonal es la suma.

Composición y descomposición de fuerzas

Muchas veces tenemos distintas fuerzas aplicadas a un cuerpo y en distintas direcciones. Para conocer su comportamiento lo que hacemos es calcular la fuerza resultante, equivalente a la suma de todas las fuerzas aplicadas.

Pero no siempre tenemos las coordenadas cartesianas de los vectores de las fuerzas aplicadas, sino que en la mayoría de los casos las encontramos como un módulo y un ángulo, lo que suele llamarse coordenadas polares.

Para resolver este tipo de problemas, lo que hay que hacer es descomponer a las fuerzas proyectándolas sobre los ejes por medio de relaciones trigonométricas simples, tales como seno, coseno y tangente. Una vez que tenemos cada componente proyectada, hacemos las sumas y restas sobre cada eje para luego volver a componer todo en una resultante.

Ejemplo

F1 = 100 Newton
F2= 80 Newton

α = 20° del eje X
β = 25° del eje y




Proyectamos las fuerzas sobre los ejes



Para la F1
Por trigonometría

Cos α = F1x / F1
Sen α = F1y / F1

Entonces

F1x = Cos α F1
F1y = Sen α F1

Para la F2
Por trigonometría

Sen β = F2x / F2
Cos β = F2y / F2

Entonces

F2x = Sen β F2
F2y = Cos β F2

Luego de tener cada componente separada podemos hacer la sumatoria sobre cada eje y obtenemos una fuerza total Fx para el eje X y otra Fy para el eje Y.

Σx = + F1x – F2x
Σy = + F1y + F2y

Para hallar la resultante total hay que realizar el procedimiento inverso, es decir componer las dos fuerzas.



El módulo se calcula como la raíz cuadrada de cada componente al cuadrado:



El ángulo se puede calcular con la tangente:







s